每日一水第44弹(07 WF E,计算几何)

Collecting Luggage

题意:这题的模型来自于现实世界中的机场行李传送带,行李会在一个多边形的轨道上进行匀速运动,一圈圈绕着多边形跑。

然后你现在处于多边形外面的某个点上,你需要以最短的时间走到多边形上面并且恰好接到你的行李,求最短时间。

由于题目还说了人的速度比传送带的速度快。所以一旦人在某个时候到某个点的最短时间等于行李到那个点的最短时间,那么这之后,人到达任意一个点所需要的时间都小于行李。所以考虑二分答案,求出当前 行李的位置,然后多边形n个点加上行李以及人的位置总共n+2个点,这些关键点之间建边跑一个最短路,判断两个点能不能连接就是枚举这两个点组成的线段跟所有 其他的线段去交,所有交点排序,如果相邻两个点的中点都不在多边形内部,那么这条线段整体都是在多边形外面的,因此可以连边。

p2397

后记:这sb题Wa两天,最后胡乱改了一发精度就Ac了,欲哭无泪。

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#include <cstdio>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <cstring>
const int N = 210;
typedef double DB;
#define op operator 
const DB eps = 1e-7;
const DB INF = 1e50;
inline int sgn(DB x) {  return x < -eps ? -1 : x > eps; }
struct PT
{
    DB x, y;
    int id;
    void in() {
        scanf("%lf%lf", &x, &y);
    }
    void print() {
        printf("x=%lf y=%lf\n",x, y);
    }
    PT (DB x=0, DB y = 0) : x(x), y(y){
    }
    PT op + (const PT& a) const {
        return PT(x + a.x, y + a.y);
    }
    PT op - (const PT &a) const {
        return PT(x - a.x, y - a.y);
    }
    DB vlen() {
        return sqrt(x*x + y*y);
    }
    PT op / (DB t){
        return PT(x / t, y / t);
    }
    bool op == (const PT &a) const {
        return sgn(x-a.x)==0 && sgn(y-a.y)==0;
    }
    PT op * (const DB& t) const {
        return PT(x * t, y * t);
    }
    DB op * (const PT &a) const {
        return x * a.y - y * a.x;
    }
    DB dot(const PT &a) const {
        return x * a.x + y * a.y;
    }
    bool op < (const PT &a) const {
        return sgn(x - a.x) < 0 ¦¦ sgn(x - a.x) == 0 && sgn(y - a.y) < 0;
    }
}p[N], pass;
 
struct Seg 
{
    PT s, e;
    Seg() {
    }
    Seg(PT s, PT e) : s(s) , e(e) {
    }
};
 
DB sum[N];
int n;
DB VL, VP;
std::vector<std::pair<int, DB> > edge[N], ori[N];
DB D[N];
bool vis[N];
 
 
bool dot_on_seg(PT p, Seg L) 
{
    return sgn((L.s - p) * (L.e - p)) == 0 && sgn((L.s - p).dot(L.e - p)) <= 0;
}
 
DB ppdis(PT a, PT b)
{
    return sqrt( (a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y) );
}
 
bool intersect(PT P, PT v, PT Q, PT w, PT &p) 
{
    PT u = P - Q;
    if(sgn(v * w) == 0) return false;
    double t = w * u / (v * w);
    p = P + v * t;
    return true;
}
 
void get_inter(std::vector<PT> &pt, PT p1, PT p2, PT p3, PT p4)
{
    PT p;
    if(intersect(p1, p2 - p1, p3, p4 - p3, p)) {
        if(dot_on_seg(p, Seg(p1, p2))) {
            pt.push_back(p);
        }
    }
}
 
bool point_in_polygon(PT o, PT *p, int n)
{
    int t;
    PT a, b;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        if(dot_on_seg(o, Seg(p[i], p[(i + 1) % n]))) {
            return false;
        }
    }
    t = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        a = p[i]; b = p[(i + 1) % n];
        if(a.y > b.y) {
            std::swap(a, b);
        }
        if(sgn((a - o) * (b - o)) < 0 && sgn(a.y - o.y) < 0 && sgn(o.y - b.y) <= 0) {
            t++;
        }
    }
    return t & 1;
}
 
bool connect(PT a, PT b)
{
    std::vector<PT> pt;
    pt.push_back(a); pt.push_back(b);
    for(int k = 0; k < n; k++) {
        get_inter(pt, a, b, p[k], p[(k + 1) % n]);
    }
    std::sort(pt.begin(), pt.end());
    int sz = (int)pt.size();
    for(int k = 0; k < sz - 1; k++) {
        PT mid = (pt[k] + pt[k + 1]) / 2;
        if(point_in_polygon(mid, p, n)) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
 
void add_edge(int i, int j, std::vector<std::pair<int, DB> > ori[])
{
    DB w = ppdis(p[j], p[i]);
    ori[i].push_back(std::make_pair(j, w));
    ori[j].push_back(std::make_pair(i, w));
}
 
void init()
{
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        ori[i].clear();
    }
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        for(int j = i + 1; j <= n; j++) if(connect(p[i], p[j]) ) {
            add_edge(i, j, ori);
        }
    }
}
 
bool spfa(int s, int t, DB mid, int n)
{
    std::queue<int> Q;
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    std::fill(D, D + n, INF);
    vis[s] = true;
    Q.push(s); D[s] = 0;
    while(!Q.empty()) {
        int u = Q.front();
        Q.pop(); vis[u] = false;
        for(int i = 0; i < (int)edge[u].size(); i++) {
            int v = edge[u][i].first;
            DB w = edge[u][i].second;
            if(D[u] + w < D[v]) {
                D[v] = D[u] + w;
                if(!vis[v]) {
                    vis[v] = true;
                    Q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return D[t] / VP - mid < eps;
}
 
bool judge(DB mid)
{
    DB dis = mid * VL- (int)(mid * VL/sum[n]) * sum[n];
    int pos = -1;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        if(i < n - 1 && sgn(dis - ppdis(p[i],p[(i + 1)%n])) >= 0) {
            dis -= ppdis(p[i], p[(i + 1) % n]);
        } else {
            pos = i; break;
        }
    }
    //  printf("pos=%d\n", pos);
    DB delta = dis;
    p[n + 1] = p[pos] + (p[(pos + 1) % n] - p[pos]) / (p[(pos + 1) % n] - p[pos]).vlen() * delta;
    // p[n + 1].print();
    edge[n + 1].clear();
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        edge[i] = ori[i];
    }
 
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        if(connect(p[n + 1], p[i])) {
            add_edge(i, n + 1, edge);
        }
    }
    //   puts("dd");
    return spfa(n + 1, n, mid, n + 2);
}
 
void output(DB t)
{
    int answer = (int) (t + 0.5 + eps);
    printf("%d:%02d\n", answer / 60, answer % 60);
}
 
int main()
{
    int ca = 1;
    while(scanf("%d",&n) == 1) {
        if(n == 0) {
            break;
        }
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            p[i].in();
        }
        p[n].in();
        scanf("%lf%lf", &VL, &VP); VL /= 60; VP /= 60;
        init();
        sum[0] = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            sum[i + 1] = sum[i] + ppdis(p[i], p[(i + 1) % n]) ;
        }
        DB l = 0, r = 1e9, best = 0;
        // printf("%d\n", judge(739));
 
        int step = 50;
 
        while(step--) {
            DB mid = (l + r) * 0.5;
            //  printf("mid=%lf\n",mid);
            if(judge(mid)) {
                r = mid;
                best = mid;
            } else {
                l = mid;
            }
        }
        printf("Case %d: Time = ", ca++);
        output(best);
    }
    return 0;
}

 

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